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运动界面追踪A题资料:一类运动界面追踪模拟新方法

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一类运动界面追踪模拟新方法
王钧 ( 浙江警官职业学院信管系 浙江杭州 3 1 0 0 1 8 ) 摘 要:本文在现有的数值方法的基础上,重点给出了一种新的求解流体体积函数方程数值方法,该方法以原有的 C I C S A M 方法为 基础,通过构造新的具有耗散性的高精度差分格式,替换原有的 U L T I M A T E - Q U I C K E S T 格式,实现对界面的有效追踪. 关键词:流体体积函数 数值模拟 运动界面追踪 差分格式 耗散性 中图分类号:O357.4 文献标识码:A 文章编号:1672-3791(2008)01(c)-0235-02

1 引言
运动界面问题的数值计算和模拟 [ 1 ~4 ] (包括移动边界域或 Stefan 问题,自由面问 题) 在 很 多 科 学 和 工 程 计 算 中 出 现 , 并承 担着越来越重要的任务.著名的 V O F (Volume of Fluid)方法和 Level Set 方法 是其中最基本的两种方法,被广泛应用于 各种实际问题中. 目前对于流体体积函数方程的数值追 踪模拟已有很多方法,主要可分为重构类 和界面捕捉两大类,本文在给出现有的数 值方法的基础上,重点给出了一种新的求 解流体体积函数方程数值方法,该 方 法 以 原有的 C I C S A M 方法为基础,通过构造新 的具有耗散性的高精度差分格式,替换原 有的 U L T I M A T E - Q U I C K E S T 格式,实现 对界面的有效追踪.

风格式( U D ) ,逆风格式( D D ) ,二阶迎风格 式( S O U D ) ,中心差分格式( C D ) 和二次迎风 插值公式( Q U I C K ) 等,把他们的函数图像 放入同一个直角坐标系中,就得到如下的 归一化变量图表,如图 1 所示.

(4) 对于任意给定的 c o u r a n t 常数 C, 上式 与 的函数关系图像可如图 2 表示.

上图中阴影部分表示上述关系式所求 区域,显然图中有界区域的上界等同于上 述函数不等式的上边界,即 ,

于是,B . P . L e o n a r d 取了这个上边界并把 它组合成具有归一化变量性质的 H Y P E R - C 格式:

(5) 图 1 归一化变量图表( N V D ) 与传送有界 性标准( C B C ) 图 1 中,U D 表示迎风差分,C D ,D D , S O U D 和 Q U I C K 则分别表示中心差分,逆 风差分,二阶迎风差分和二次迎风插值. 显然,上图阴影部分与 C B C 给出的公 式所成平面区域完全吻合.其实稍加观 察,我们就会发现这样一个事实:在阴影 部分内部,对于不同的差分格式,在相同 的区间 下,起点分布在不同位 置,直线的斜率也各自不一.更重要的是, 当 值落在阴影部分的下方时,此时所形 成的差分格式更易趋向于迎风类格式,而 当 值落在阴影部分的上方时,此时所形 成的差分格式更易趋向于逆风类格式.由 以上判断,再结合 C B C 公式,我们自然会 想到能否在符合传送有界性标准的前提 下,去构造一种高精度差分方法. 为此,Courant 引入任意的 courant 常 数 C ,这样 C B C 公式有了新的转化,即: 上式具有较强的色散性,单独使用格 式 是 不 稳 定 的 ,但该格式可以获得非常锐 利的界面,尤其在处理运动界面方向与界 面运动方向趋向于垂直时显得更为有效. 这些信息,其实我们通过对图 4 的观察可 以很容易得出.显然,在 上,

2 问题的提出
在 U b b i n k 和 I s s a 的 C I C S A M 方法中, 最为核心的部分是:引入两种高精度方 法,通过他们的权组合来实现对运动界面 的有效追踪,从而使得该方法在获得较为 锐利的界面的同时又保证了体积函数的有 界性.本文对以上两种高精度方法的其中 一种进行了细致的分析,并 尝 试 提 出 新 的 更简洁的迎风类高精度差分公式,实现对 运动界面更好的追踪和模拟. 相关概念一:归一化变量图表 N V D (Normalised Variable Diagram) 归一化变量是高精度方法构造的基 础,其一般公式定义如下: (1) 相应施主格和网格边界面上的体积比 可表示如下: (2) 相关概念二:传送有界性标准 C B C (Convection Boundedness Criterion) 结合归一化变量方法,C B C 可表示如 下:

的值是分段给出的,其中两段的临界点即 为图中 C f 点的虚线交点所示,且很容易计 算此时的 C f 值,即: (6) 而是一个任意的 courant 常数,故临界 点是一个动点, 且仅随的变动而左右移动, 但始终确保这样的临界点在区间[ 0 , 1 ] 上, 不然阴影部分区域可能扩充之无界区域, 导致数值界的失真.在临界点的左侧,给 出的是类似于迎风类的差分格式,在临界 点的右侧,就是常见的逆风类格式.

(3) 对 于 不 同 的 差 分 格 式 ,运 用 以 上 归 一 化变量方法,分别可以得到网格边界面的 体积比 关于 的函数关系式[ 5 ] .诸如迎 图 2 与的函数关系图 图 3 与 关系图,其中 x 表示 表示 ,y

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间 t = 2 . 5 ,再以次为结果为初值,将速度反 号,反剪切 2.5 秒,其结果在图 10 中给出. 上右图为速度反号时复原时刻图像

3 问题的解决
针对上述问题,可以利用分段形式,相 应构造出了新的高精度迎风类差分格式. 首先给出 与 关系图. 与 之间的关系式:

5 结语
以 上 数 值 算 例 表 明 ,我 们 的 方 法 在 结 构化网格下能较理想地实现在任何时刻对 界面地追踪.不过本文对任意网格的界面 追踪并没有具体实施,特别是对于复杂的 界面流问题,原因之一是这样的界面流很 难实现其三角剖分.所以,本人今后的研 究方向将努力去创造一种能适应无结构 D e l a u n a y 三角或四面体剖分下的高分辨率 和高精度的追踪方法.另外,由分析知,本 文所构造的新迎风类高精度格式( 8 ) ,显然 是不惟一的,这里是直线段形式,我们猜 想如果公式能用曲线段形式来表示,那么 相 应 数 值 模 拟 效 果 应 该 会 更 好 , 对于这个 问 题 ,目 前 还 正 在 研 究 解 决 中 .

这样,可求出

(7) 取 上 述 不 等 式 的 下 界 ,我 们 便 得 到 新 的具有归一化变量性质的差分格式: 图 4 圆的初始图

(8) 数 值 算 例 表 明 :以 上 格 式 求 解 精 度 较 高,特别对于运动方向与运动边界趋向平 行问题,该格式求解效果好,具有不可替代 性.不过,类似于 格式,此格式也具有

较 强 的 耗 散 性 ,单独使用的时候会抹平界 面,因而此格式类似于前面提到的 U L T I - M A T E - Q U I C K E S T 格式,但其表达式显然 比前式更为简洁.为此,我们考虑用 取代 ,其他情况不变,得到求解流体

体积函数的新的数值方法,以下的数值算 例证明了我们的方法仍然是有效的.

4 数值算例
要 解 决 的 问 题 就 是:利 用 上 面 新 构 造 的迎风类高精度差分格式即公式( 8 ) ,来求 解流体体积函数方程,从而顺利实现对不 同初始界面在对应流场下的数值模拟 [ 6 ] . 其中,剪切流场可简单描述如下: 其速度场表示如下:

参考文献 [1] Hirt C W,Nichols B D.Volume of Fluid(VOF) method for the dynamics of free boundaries[J].Journal of Com- putational Physics,39(1981):201~225. [2] Ashgriz N,Poo JY.Flair.Flux-line- segment model for Advection and in- terface reconstruction[J].Journal of Computational Physics,1991,93(2): 449~468. [3] Rudman M.Volume-tracking methods for interfacial flow calculations[J]. Internat-ional Journal for Numerical Methods in Fluids,1997,24(7):671~ 691. [4] Rudman M.A volume-tracking method for incompressible multifluid flows with large density variation[J].International Journal for Numerical Methods in Fluid-s,1998,28(2):357~378. [5] Gaskell H,Lau A.K.C.International Journal for Numerical Methods in fluids, 8(1988):617. [ 6 ] 邹光远,陈耀松. 力学学报,1 9 8 9 .

我们取(x0, y0)=(0.5,0.5),计算区域为 [0,1]×[0,1],初始界面为圆心在(0.5,0.3), 半径为 0 .2 的圆周( 如图 9 所示) .计算到时
( 上接 2 3 4 页)

图 5 上左图为 t = 2 . 5 时刻运动模拟图像,

参考文献
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时,改进后的 Chord 的查询跳数和标准 Chord 相同;随着 GSize 的增大,平均查询跳数逐 渐减校

5 结语
鉴于 C h o r d 算法本身所存在的比如 F i n g e r 表单向,节点加入和离开带来的低 效等问题,本文提出了分组,代表节点的 挑选,双向 F i n g e r 表等思想,并分析和比 较了与标准 C h o r d 算法的区别和优势.

(2006). [4] James Salter_, An optimized two-tier P2P architecture for contextualized keyword searches Future Generation Computer Systems, (2007). [5] Jie Liu,A semantic-based P2P re- source organization model R-Chord The Journal of Systems and Software, (2006).

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